다각형 — 중1 2학기

공식이 많아 보여도 전부 삼각형 하나에서 나와. 걱정 마!

💡 시작하기 전에 이 단원은 외울 공식이 4개 정도야. 그런데 전부 삼각형 하나에서 나와.
“삼각형 세 각의 합 = 180°” ← 초등학교 때 배운 이거 하나만 붙잡고 있으면 나머지는 다 만들어낼 수 있어. 외우다가 까먹어도 다시 만들 수 있는 게 진짜 실력이야! 💪

1 다각형이란?

다각형은 여러 개의 선분으로만 둘러싸인 평면도형이야. 변이 3개면 삼각형, 4개면 사각형, n개면 n각형!

⭕ 다각형이야

선분으로 완전히 닫힘

❌ 아니야

곡선이 섞여 있음

❌ 아니야

안 닫혀 있음 (틈)

정다각형 — 조건이 두 개야!

⭐ 정다각형

① 모든 변의 길이가 같고
② 모든 내각의 크기가 같다
둘 다 만족해야 해! 하나만으로는 안 돼

⚠️ 여기 진짜 잘 나와 — 하나만 만족하는 것들

도형	변의 길이	각의 크기	정다각형?
마름모	⭕ 다 같음	❌ 다름	❌ 아니야
직사각형	❌ 다름	⭕ 다 90°	❌ 아니야
정사각형	⭕	⭕	⭕ 맞아

“변의 길이가 모두 같으면 정다각형이다” 라는 문장이 나오면 바로 ❌ 야!

2 내각과 외각

다각형의 한 꼭짓점에서 두 가지 각을 생각할 수 있어.

내각 + 외각 = 180° (일직선이니까!)

이름	뜻
내각	다각형 안쪽의 각 (두 변이 이루는 각)
외각	한 변을 늘였을 때, 늘인 선과 이웃한 변이 이루는 각

⭐ 한 꼭짓점에서

(내각) + (외각) = 180°
일직선 위에 나란히 있으니까!

💡 이 식 하나로 문제가 술술 풀려 내각을 알면 외각은 180° − 내각, 외각을 알면 내각은 180° − 외각.
문제에서 외각만 알려줬는데 내각을 묻거나, 그 반대인 경우가 아주 많아!

⚠️ 외각은 사실 한 꼭짓점에 2개 있어 변을 왼쪽으로 늘이나 오른쪽으로 늘이나 외각이 생기지? 그런데 그 둘은 맞꼭지각이라서 크기가 똑같아. (3단원에서 배웠지! 😉)
그래서 “외각”이라고 하면 그중 하나만 생각하면 돼.

3 대각선

대각선은 이웃하지 않는 두 꼭짓점을 이은 선분이야.

왜 (n − 3) 일까?

한 꼭짓점에서 대각선을 그어보자. 다른 꼭짓점 전부에 그을 수 있을까? 아니야!

자기 자신에게는 못 그어 ▸ 1개 빼기

양옆에 이웃한 두 꼭짓점은 이미 변이야 ▸ 2개 빼기

그래서 n − 3 개! (1 + 2 = 3 개를 뺀 거야)

왜 마지막에 ÷ 2 를 할까?

꼭짓점이 n개니까 n × (n − 3) 개일 것 같지? 그런데 대각선 하나를 양쪽 끝에서 두 번씩 셌어!
A에서 C로 그은 것과 C에서 A로 그은 것은 같은 선이잖아. 그래서 2로 나눠.

⭐ 대각선 공식

한 꼭짓점에서: n − 3 개
전체 대각선: n(n − 3) ÷ 2 개

💡 거꾸로 묻는 문제도 나와 “대각선이 9개 인 다각형은?” → n(n−3)/2 = 9 → n(n−3) = 18 → 6 × 3 = 18 이니까 n = 6, 육각형!
곱해서 18 이 되는 3 차이 나는 두 수를 찾으면 돼. 계산기 없이도 금방 나와. 😉

4 🔢 슬라이더로 놀아보기

변의 개수를 움직여봐! 그림이랑 숫자가 같이 바뀌어. 🖐️
“한 꼭짓점에서만” 버튼을 누르면 왜 삼각형 (n−2)개로 나뉘는지 눈으로 보여!

34567 89101112

정오각형 (n = 5)

슬라이더를 움직여봐!

🔍 이걸 꼭 해봐 “한 꼭짓점에서만” 을 켜고 슬라이더를 움직이면서, 삼각형 조각이 몇 개인지 세어봐.
항상 (변의 개수 − 2)개 야! 이게 다음에 배울 내각의 합 공식의 정체 야. 😮

5 삼각형의 내각과 외각

⭐ 규칙 1

삼각형의 세 내각의 합 = 180°

초등학교 때 배운 거야. 이 단원의 모든 공식의 출발점이니까 꼭 붙잡고 있어!

삼각형의 외각의 성질 ⭐

⭐ 규칙 2

한 외각의 크기 =
이웃하지 않는 두 내각의 합

x = a + b — 멀리 있는 두 각을 더하는 거야!

🤔 왜 그럴까? (외우지 말고 이해하기) 이웃한 내각을 c 라고 하면 —
a + b + c = 180° (세 내각의 합)
x + c = 180° (일직선)
둘 다 180° 니까 → x = a + b 👍
3단원에서 맞꼭지각이 같은 이유를 알아낸 방법이랑 똑같은 방법이야!

⚠️ “이웃하지 않는” 이 핵심 외각 옆에 딱 붙어 있는 내각은 안 더해! 그건 오히려 180°에서 빼는 짝이야.

⭕ 외각 = 멀리 있는 두 내각의 합

❌ 외각 = 옆에 붙은 내각까지 다 더하기

그림에서 외각과 마주 보고 있는 쪽을 더한다고 생각하면 안 헷갈려!

6 다각형의 내각의 합

4번 슬라이더에서 본 그대로야. 한 꼭짓점에서 대각선을 다 그으면 삼각형 (n − 2)개로 쪼개지지?
삼각형 하나가 180° 니까, 다 더하면?

⭐ 내각의 합

180° × (n − 2)

도형	삼각형 몇 개	내각의 합
삼각형 (n=3)	1개	180° × 1 = 180°
사각형 (n=4)	2개	180° × 2 = 360°
오각형 (n=5)	3개	180° × 3 = 540°
육각형 (n=6)	4개	180° × 4 = 720°

📌 −2 를 까먹지 않는 법 사각형을 떠올려봐. 사각형은 대각선 하나로 삼각형 2개가 되고, 내각의 합은 360° 지? (이건 확실히 알잖아!)
공식에 n=4 를 넣어서 360° 가 나오는지 확인하는 습관을 들이면, n−1 인지 n−2 인지 헷갈릴 일이 없어. 💪

7 ⭐ 다각형의 외각의 합 — 이 단원의 왕

🌟 놀라운 사실

어떤 다각형이든
외각의 합 = 360°
삼각형도 360°, 백각형도 360°!

내각의 합은 변이 늘어날수록 커지는데, 외각의 합은 절대 안 변해. 처음 보면 안 믿기지? 🤯

🚶 왜 그럴까? — 운동장을 한 바퀴 걷기 다각형 모양의 운동장 둘레를 따라 한 바퀴 걸어서 제자리로 돌아온다고 생각해봐.
꼭짓점마다 몸을 튼 각도가 바로 외각이야.
한 바퀴를 다 돌면 처음 보던 방향으로 정확히 돌아오지? 그러니까 튼 각을 다 더하면 한 바퀴 = 360° 인 거야!
운동장이 삼각형이든 십각형이든, 한 바퀴는 한 바퀴잖아. 😮

계산으로도 확인해볼까?

꼭짓점 하나마다 (내각 + 외각) = 180° 였지. 꼭짓점이 n개니까 —

(내각의 합) + (외각의 합) = 180° × n

내각의 합 = 180° × (n − 2) = 180°n − 360°

외각의 합 = 180°n − (180°n − 360°) = 360° ✅ n 이 사라졌어!

n 이 사라진다는 게 핵심이야. 그래서 변이 몇 개든 상관없는 거야! 😉

⚠️ 시험에서 이렇게 나와 · “정십이각형의 한 외각의 크기는?” → 360 ÷ 12 = 30° (내각 먼저 구하지 마!)
· “한 외각이 40° 인 정다각형은?” → 360 ÷ 40 = 9 → 정구각형
외각으로 푸는 게 훨씬 빨라. 내각으로 돌아가면 계산이 복잡해져!

8 정다각형의 한 내각·한 외각

정다각형은 각이 전부 똑같으니까, 합을 개수로 나누면 하나의 크기가 나와!

⭐ 정n각형

한 내각 = 180°×(n−2) ÷ n
한 외각 = 360° ÷ n

💡 훨씬 쉬운 길 한 내각을 구할 때도 외각을 먼저 구하는 게 빨라!
한 외각 = 360 ÷ n 을 구하고 → 한 내각 = 180° − (한 외각)
예) 정십각형 → 외각 = 360÷10 = 36° → 내각 = 180 − 36 = 144° ✅
(180×8÷10 로 계산해도 144° 로 똑같아. 근데 위가 더 빠르지? 😉)

⚠️ “정”이 없으면 못 구해! 그냥 육각형의 한 내각은 구할 수 없어. 찌그러진 육각형은 각이 다 제각각이니까.
합은 구할 수 있어도 (720°), 하나는 못 구해.

⭕ 육각형의 내각의 합 → 720° (구할 수 있어)

❌ 육각형의 한 내각 → 알 수 없음 (“정”육각형이어야 120°)

문제에 “정”이 붙어 있는지 꼭 확인하기!

9 ⚠️ 헷갈리는 것 총정리

시험 전에 여기만 다시 봐도 돼!

① 정다각형은 조건이 2개

변 길이 ⭕ + 각 크기 ⭕. 마름모(변만), 직사각형(각만)은 정다각형이 아니야.

② 내각의 합은 변하고, 외각의 합은 안 변한다

	공식	n 이 커지면?
내각의 합	180°×(n−2)	계속 커진다
외각의 합	360°	❗ 안 변한다

③ 외각의 성질 — “이웃하지 않는” 두 내각

옆에 붙은 내각은 더하는 게 아니라 180°에서 빼는 짝이야.

④ “정”이 없으면 하나짜리 각은 못 구한다

합은 구해도, 한 내각·한 외각은 정다각형일 때만!

⑤ 대각선 공식 — ÷2 를 빠뜨리지 않기

n(n−3) 까지만 쓰고 답을 내면 정확히 2배로 틀려. 제일 흔한 실수야!

⑥ n−3 과 n−2 를 섞지 않기

무엇	개수
한 꼭짓점에서 그은 대각선	n − 3
그때 생기는 삼각형	n − 2

💡 선을 3개 그으면 조각은 4개 나오지? 그래서 삼각형이 하나 더 많아! (4번 슬라이더에서 세어보면 바로 보여)

10 스스로 확인해보기

먼저 풀어보고 답을 열어보기! 먼저 풀어보는 게 진짜 공부야 💪

십각형의 대각선은 모두 몇 개일까?
팔각형의 내각의 합은?
정오각형의 한 내각의 크기는?
한 외각의 크기가 24° 인 정다각형은 몇 각형일까?
삼각형에서 두 내각이 50°, 60° 일 때, 나머지 한 내각의 외각은 몇 도일까?
“모든 변의 길이가 같으면 정다각형이다” — 맞을까 틀릴까?
대각선이 20개 인 다각형은 몇 각형일까?

힌트 3번·4번은 외각부터 구하면 훨씬 빨라! 5번은 외각의 성질(규칙 2)을 그대로 쓰면 한 줄이야.

답 확인하기 (먼저 풀어보고 열기!)

35개. 10 × (10 − 3) ÷ 2 = 10 × 7 ÷ 2 = 35 (÷2 잊지 않기!)
1080°. 180° × (8 − 2) = 180 × 6 = 1080°
108°. 한 외각 = 360 ÷ 5 = 72° → 한 내각 = 180 − 72 = 108°
(180×3÷5 = 108 로 해도 같아 ✅)
정십오각형. 360 ÷ 24 = 15
110°. 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합 = 50 + 60 = 110°
(나머지 내각 70° 를 구해서 180 − 70 = 110 으로 해도 같아!)
틀렸어. 마름모가 반례야 — 변은 다 같지만 각이 달라. 각도 모두 같아야 정다각형이야.
팔각형. n(n−3)/2 = 20 → n(n−3) = 40 → 8 × 5 = 40 → n = 8

✓ 시험 직전엔 이것만!

정다각형 = 변도 같고 각도 같다 (둘 다!)
한 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = 180°
대각선: 한 꼭짓점에서 n−3, 전체 n(n−3)÷2 (÷2 필수!)
내각의 합 = 180°×(n−2) ← 삼각형 (n−2)개로 쪼갠 것
외각의 합 = 360° ← 어떤 다각형이든 똑같다 ⭐
정n각형: 한 외각 = 360÷n, 한 내각 = 180 − 한 외각
삼각형의 외각 = 이웃하지 않는 두 내각의 합
“정”이 없으면 한 내각은 못 구한다