작도와 합동 — 중1 2학기

자랑 컴퍼스만 있으면 돼. 같이 그려보자!

💡 시작하기 전에 이 단원은 “똑같은 도형을 어떻게 만들까?” 하나로 이어져 있어.
① 자와 컴퍼스로 똑같이 그리는 법(작도) → ② 몇 개만 알려주면 삼각형이 하나로 정해지는지 → ③ 두 삼각형이 진짜 똑같은지 판단하는 법(합동 조건).
따로따로 외우면 힘든데, 이 흐름으로 보면 훨씬 쉬워!

1 작도 — 딱 두 가지 도구만

작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써서 도형을 그리는 것이야. (작도 — 지을 작(作) + 그림 도(圖), “그려서 만든다”는 뜻)

도구	이 일만 한다
눈금 없는 자	· 두 점을 잇는 선분을 긋는다 · 선분을 길게 늘인다
컴퍼스	· 원을 그린다 · 선분의 길이를 옮긴다 (재는 게 아니라 옮기는 것!)

⚠️ 여기서 제일 많이 틀려 — “자로 길이를 재면 안 돼!” 작도에 쓰는 자는 눈금이 없는 자야. 그러니까

❌ 자로 길이를 잰다 / ❌ 각도기로 각을 잰다

⭕ 자로는 긋기만, 길이 옮기기는 컴퍼스로

시험에 “다음 중 작도에 대한 설명으로 옳은 것은?” 이 꼭 나오는데, 여기서 갈려.

🤔 왜 눈금을 못 쓰게 할까? 눈금으로 잰 길이는 정확하지 않아. 3.5cm 옆은 3.51cm 인지 3.49cm 인지 알 수 없잖아. 그런데 컴퍼스로 옮긴 길이는 재지 않고 그대로 옮긴 것이라 오차가 없어. “정확하게” 그리려고 일부러 도구를 줄인 거야. 😮

2 ✏️ 크기가 같은 각 옮기기 — 눌러보기

기본 작도 중에 시험에 제일 많이 나오는 것이야. 왼쪽에 있는 각 ∠XOY 와 똑같은 크기의 각을, 오른쪽 반직선 위에 그려볼 거야.

“다음 단계 ▸” 버튼을 눌러가면서 순서를 눈으로 따라가 봐! 🖐️

1단계 ▸ 각 ∠XOY 와, 각을 옮겨 그릴 반직선 PQ 가 있어.

🤯 이 작도가 되는 진짜 이유 (5·6번을 배우면 알게 돼) △OAB 와 △PCD 를 보면 —
OA = PC (같은 반지름), OB = PD (같은 반지름), AB = CD (컴퍼스로 옮김)
→ 세 변의 길이가 모두 같아 = SSS 합동!
합동인 삼각형은 대응각도 같으니까 ∠O = ∠P 인 거야. 작도랑 합동이 한 단원에 같이 있는 이유가 바로 이거야. 😉

다른 기본 작도들

길이가 같은 선분 ▸ 컴퍼스로 원래 선분의 길이를 재서 옮기면 끝.

평행선 ▸ “각 옮기기”를 그대로 쓴다! 동위각의 크기가 같아지게 각을 옮겨 그리면, 3단원에서 배운 “동위각이 같으면 두 직선은 평행” 에 의해 평행선이 돼.

📌 평행선 작도는 새로운 게 아니라 각 옮기기의 응용이야. 그래서 각 옮기기 하나만 확실히 해두면 둘 다 되는 거야!

3 삼각형의 대변과 대각

삼각형 ABC 를 기호로 △ABC 라고 써. 여기서 마주 보는 짝을 부르는 이름이 있어.

∠A 의 맞은편 변이 a, ∠B 의 맞은편이 b, ∠C 의 맞은편이 c

이름	뜻	예
대변	한 각과 마주 보는 변	∠A 의 대변 = 변 BC
대각	한 변과 마주 보는 각	변 BC 의 대각 = ∠A

💡 외우는 법: 대(對) = 마주 본다. 붙어 있는 게 아니라 건너편이야!
∠A 의 대변을 물었는데 A가 들어간 변(AB, AC) 을 고르면 틀려. A가 안 들어간 변이 답이야.

4 🔺 이 세 변으로 삼각형이 될까? — 눌러보기

길이 세 개를 아무거나 주면 항상 삼각형이 될까? 아니야! 아래 버튼을 눌러서 직접 확인해봐. 🖐️

위에서 길이 세 개를 골라봐! 🖐️
짧은 두 변을 이어 붙였을 때, 가장 긴 변보다 길어야 삼각형이 닫혀.

⭐ 삼각형이 되는 조건

(가장 긴 변) < (나머지 두 변의 합)
가장 긴 것 하나만 확인하면 돼!

🚶 왜 그럴까? — 걸어서 생각하기 B 에서 C 로 갈 때, 곧장 가는 길(변 a)이 A 를 들렀다 가는 길(c + b)보다 짧아야 하잖아. 돌아가는 길이 더 짧으면 이상하지? 😄
그래서 a < b + c 여야 하는 거야.

⚠️ = 이면 안 돼! 4, 4, 8 처럼 딱 같으면 (4 + 4 = 8) 삼각형이 안 돼. 두 변을 눕히면 가장 긴 변과 완전히 포개져서 납작해져 버려. 삼각형은 넓이가 있어야 하잖아!
→ “작다(<)” 여야지 “같거나 작다(≤)” 가 아니야.

5 ⭐ 삼각형이 하나로 정해지는 조건

“하나로 정해진다”는 건 누가 그려도 똑같은 삼각형이 나온다는 뜻이야. 아래 조건들을 눌러서 되는지 안 되는지 확인해봐! 🖐️

위에서 조건을 눌러봐! 🖐️
되는 것 3가지, 안 되는 것 3가지가 섞여 있어.

⭐ 하나로 정해지는 3가지

① 세 변의 길이
② 두 변의 길이 + 그 끼인각
③ 한 변의 길이 + 그 양 끝 각

⚠️ 밑줄 친 부분이 전부야 ②는 끼인각이어야 하고, ③은 양 끝 각이어야 해.
각이 엉뚱한 자리에 있으면 안 정해져. 시험 문제는 바로 이 자리를 바꿔서 내.
· “두 변과 끼인각” ⭕ → “두 변과 한 변의 대각” ❌
· “한 변과 양 끝 각” ⭕ → “한 변과 다른 두 각” ❌

💡 “다른 두 각”은 왜 애매할까? 사실 한 변과 다른 두 각을 알면, 삼각형의 세 각의 합은 180° 니까 나머지 한 각도 알 수 있어. 그래서 실제로는 삼각형을 그릴 수 있는 경우가 많아.
하지만 중1 교과서에서는 “한 변과 그 양 끝 각”이라는 표현을 정확히 쓰는 걸 요구해. 시험에서는 교과서에 적힌 세 가지 표현 그대로 골라야 안전해!
(이 부분은 책마다 설명이 조금씩 달라. 재이 책에 어떻게 써 있는지 한번 확인해보면 좋아.)

📌 세 각을 알아도 안 되는 이유 세 각이 60°, 60°, 60° 인 삼각형은 아주 작은 것도 있고 아주 큰 것도 있어. 모양은 같은데 크기가 안 정해져! → 무수히 많음.
각만으로는 크기를 알 수 없어. 그래서 변이 최소한 1개는 있어야 해.

6 도형의 합동

두 도형을 포개었을 때 완전히 겹쳐지면 서로 합동이라고 해. 뒤집거나 돌려서 겹쳐져도 합동이야!

기호

△ABC ≡ △DEF
≡ 는 “합동”, = 는 “같다”. 다른 기호야!

이름	뜻
대응점	포갰을 때 겹쳐지는 점 (A ↔ D)
대응변	겹쳐지는 변 (AB ↔ DE)
대응각	겹쳐지는 각 (∠A ↔ ∠D)

⭐ 합동이면 이게 따라온다 · 대응변의 길이가 서로 같다
· 대응각의 크기가 서로 같다
→ “합동이다” 라는 말 한마디에 6개의 정보(변 3 + 각 3)가 들어 있는 거야! 💪

⚠️ 기호 쓸 때 순서를 맞춰야 해! △ABC ≡ △DEF 라고 쓰면 그건 “A와 D, B와 E, C와 F 가 대응한다”는 약속이야.
순서를 아무렇게나 쓰면 다른 뜻이 돼버려. △ABC ≡ △DEF 와 △ABC ≡ △EFD 는 완전히 다른 말이야.

⭕ 대응하는 순서대로 쓰기 — 그러면 AB = DE 를 바로 읽을 수 있어

❌ 순서 무시하고 쓰기 — 답을 맞혀 놓고도 틀려

⚠️ 넓이가 같다고 합동은 아니야! 가로 2 · 세로 6 인 직사각형과, 가로 3 · 세로 4 인 직사각형은 넓이가 둘 다 12 지만 포개면 안 겹치지? → 합동이 아니야.

⭕ 합동이면 → 넓이가 같다

❌ 넓이가 같으면 → 합동이다 (반대는 성립 안 함!)

3단원에서 배운 “성질과 조건은 화살표 방향이 다르다” 랑 똑같은 함정이야. 😉

7 ⭐ 삼각형의 합동 조건 3가지

두 삼각형이 합동인지 확인하려고 6개(변3+각3)를 다 재볼 필요는 없어. 3개만 맞으면 돼. 근데 아무 3개나 는 아니야!

이름	뜻	기억할 말
SSS 합동	대응하는 세 변의 길이가 각각 같다	변변변
SAS 합동	대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다	변각변
ASA 합동	대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같다	각변각

💡 S와 A가 뭐야? S = Side (변), A = Angle (각) 이야.
그리고 글자 순서가 곧 위치야! SAS 는 “변–각–변” 이니까 각이 두 변 사이에 끼어 있다는 뜻이고, ASA 는 “각–변–각” 이니까 변이 두 각 사이에 있다는 뜻이야. 글자만 봐도 자리를 알 수 있어! 😮

🔗 5번이랑 똑같아! 합동 조건 3가지는 “삼각형이 하나로 정해지는 조건” 3가지랑 완전히 같은 것이야.
생각해보면 당연해 — 하나로 정해진다는 건, 그 조건이 같으면 같은 삼각형밖에 안 나온다는 뜻이니까! 두 번 외울 필요 없어. 💪

❌ 이건 합동 조건이 아니야

SSA — 두 변과, 끼인각이 아닌 각 → 모양이 두 가지로 갈릴 수 있어

AAA — 세 각 → 모양만 같고 크기가 제각각 (이건 나중에 배울 “닮음”이야)

⚠️ A(각)가 3개면 절대 합동이 아니야 합동 조건 세 개를 보면 S(변)가 최소 1개는 꼭 들어 있어. 크기를 정해주는 건 변뿐이거든. 변이 하나도 없으면 그 순간 탈락!

8 ⚠️ 헷갈리는 것 총정리

시험 전에 여기만 다시 봐도 돼!

① 작도 — 자로 재면 안 된다

눈금 없는 자는 긋기 전용. 길이를 옮기는 건 컴퍼스. 각도기는 아예 못 씀.

② 대변·대각은 “마주 보는” 것

∠A 의 대변은 A가 안 들어간 변 BC. 붙어 있는 변이 아니야.

③ 삼각형이 되는 조건은 “<” 이다

(가장 긴 변) < (나머지 두 변의 합). = 이면 안 돼(납작해짐).

④ 각이 어디에 있는지가 전부다

조건	되나?	왜
두 변 + 끼인각	⭕ SAS	각이 두 변 사이
두 변 + 다른 각	❌	모양이 갈림 (SSA)
한 변 + 양 끝 각	⭕ ASA	변이 두 각 사이
세 각	❌	크기가 안 정해짐 (AAA)

⑤ 합동 ≠ 넓이가 같다

합동이면 넓이가 같지만, 넓이가 같다고 합동은 아니야. 화살표는 한쪽 방향으로만!

⑥ 기호 ≡ 를 = 로 쓰지 않기

합동은 ≡. 그리고 대응 순서를 맞춰서 쓰기!

9 스스로 확인해보기

먼저 풀어보고 답을 열어보기! 먼저 풀어보는 게 진짜 공부야 💪

작도할 때 쓸 수 있는 도구 두 가지는? 그리고 컴퍼스는 무슨 일을 할까?
세 변의 길이가 6, 8, 15 인 삼각형을 그릴 수 있을까?
△ABC 에서 ∠B 의 대변은 어느 변일까?
“두 변의 길이와 한 변의 대각의 크기를 알면 삼각형이 하나로 정해진다.” — 맞을까 틀릴까?
△ABC ≡ △DEF 이고 AB = 5cm 일 때, 길이를 알 수 있는 변은?
넓이가 같은 두 삼각형은 항상 합동일까?

힌트 2번은 가장 긴 변 하나만 확인하면 돼. 4번은 “끼인각인가?” 를 먼저 봐!

답 확인하기 (먼저 풀어보고 열기!)

눈금 없는 자와 컴퍼스. 컴퍼스는 원을 그리고, 선분의 길이를 옮기는 일을 해. (재는 게 아니라 옮기는 거야!)
못 그려. 가장 긴 변은 15 인데, 나머지 두 변의 합은 6 + 8 = 14. 15 > 14 라서 두 변을 이어 붙여도 닿지를 않아.
변 AC (= 변 CA). ∠B 와 마주 보는 변이니까 B가 안 들어간 변이야.
틀렸어. 대각은 끼인각이 아니잖아. 이건 SSA 라서 모양이 두 가지로 갈릴 수 있어. “두 변과 그 끼인각” 이어야 맞아.
DE = 5cm. 합동 기호는 순서대로 대응하니까 A↔D, B↔E → 변 AB 의 대응변은 DE야.
아니야. 밑변 6·높이 4 인 삼각형과 밑변 12·높이 2 인 삼각형은 넓이가 둘 다 12 지만 포개면 안 겹쳐. 넓이가 같다 → 합동 은 성립하지 않아.

✓ 시험 직전엔 이것만!

작도 = 눈금 없는 자 + 컴퍼스 (재지 말고 옮기기)
대변·대각 = 마주 보는 짝
삼각형이 되려면 (가장 긴 변) < (나머지 두 변의 합)
하나로 정해지는 조건 = 세 변 / 두 변+끼인각 / 한 변+양 끝 각
합동 조건 SSS · SAS · ASA — 위 조건과 똑같은 것!
S(변)가 0개면 탈락 — AAA 는 합동 아님
합동 → 넓이 같다 ⭕ / 넓이 같다 → 합동 ❌
≡ 쓸 때 대응 순서 맞추기